从零到壹学习密码学第十七讲:椭圆曲线加解密

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椭圆曲线加密算法,即:Elliptic Curve Cryptography,简称ECC,是基于椭圆曲线数学理论实现的一种非对称加密算法。相比RSA,ECC优势是可以使用更短的密钥,来实现与RSA相当或更高的安全。据研究,160位ECC加密安全性相当于1024位RSA加密,210位ECC加密安全性相当于2048位RSA加密。
椭圆曲线在密码学中的使用,是1985年由Neal Koblitz和Victor Miller分别独立提出的。

椭圆曲线

一般情况下,椭圆曲线可用下列方程式来表示,其中a,b,c,d为系数。
E:y2=ax3+ bx2+cx+d
例如,当a=1,b=0,c=-2,d=4时,所得到的椭圆曲线为:
E:y2=x3-2x+4
该椭圆曲线E的图像如图X-1所示,可以看出根本就不是椭圆形。


定义椭圆曲线的运算规则

加法
过曲线上的两点A、B画一条直线,找到直线与椭圆曲线的交点,交点关于x轴对称位置的点,定义为A+B,即为加法。如下图所示:A + B = C

二倍运算
上述方法无法解释A + A,即两点重合的情况。因此在这种情况下,将椭圆曲线在A点的切线,与椭圆曲线的交点,交点关于x轴对称位置的点,定义为A + A,即2A,即为二倍运算。

正负取反
将A关于x轴对称位置的点定义为-A,即椭圆曲线的正负取反运算。如下图所示:

无穷远点
如果将A与-A相加,过A与-A的直线平行于y轴,可以认为直线与椭圆曲线相交于无穷远点。
综上,定义了A+B、2A运算,因此给定椭圆曲线的某一点G,可以求出2G、3G(即G + 2G)、4G......。即:当给定G点时,已知x,求xG点并不困难。反之,已知xG点,求x则非常困难。此即为椭圆曲线加密算法背后的数学原理。

有限域上的椭圆曲线运算

椭圆曲线要形成一条光滑的曲线,要求x,y取值均为实数,即实数域上的椭圆曲线。但椭圆曲线加密算法,并非使用实数域,而是使用有限域。按数论定义,有限域GF(p)指给定某个质数p,由0、1、2......p-1共p个元素组成的整数集合中定义的加减乘除运算。
假设椭圆曲线为y2 = x3 + x + 1,其在有限域GF(23)上时,写作:
y2 ≡ x3 + x + 1 (mod 23)
此时,椭圆曲线不再是一条光滑曲线,而是一些不连续的点,如下图所示。以点(1,7)为例,72 ≡ 13 + 1 + 1 ≡ 3 (mod 23)。如此还有如下点:
(0,1) (0,22)
(1,7) (1,16)
(3,10) (3,13)
(4,0)
(5,4) (5,19)
(6,4) (6,19)
(7,11) (7,12)
(9,7) (9,16)
(11,3) (11,20)
等等。
另外,如果P(x,y)为椭圆曲线上的点,则-P即(x,-y)也为椭圆曲线上的点。如点P(0,1),-P=(0,-1)=(0,22)也为椭圆曲线上的点。

计算xG
相关公式如下:
有限域GF(p)上的椭圆曲线y2 = x3 + ax + b,若P(Xp, Yp), Q(Xq, Yq),且P≠-Q,则R(Xr,Yr) = P+Q 由如下规则确定:
Xr = (λ2 - Xp - Xq) mod p
Yr = (λ(Xp - Xr) - Yp) mod p
其中λ = (Yq - Yp)/(Xq - Xp) mod p(若P≠Q), λ = (3Xp2 + a)/2Yp mod p(若P=Q)
因此,有限域GF(23)上的椭圆曲线y2 ≡ x3 + x + 1 (mod 23),假设以(0,1)为G点,计算2G、3G、4G...xG等等,方法如下:
计算2G:
λ = (3x02 + 1)/2x1 mod 23 = (1/2) mod 23 = 12
Xr = (122 - 0 - 0) mod 23 = 6
Yr = (12(0 - 6) - 1) mod 23 = 19
即2G为点(6,19)
计算3G:
3G = G + 2G,即(0,1) + (6,19)
λ = (19 - 1)/(6 - 0) mod 23 = 3
Xr = (32 - 0 - 6) mod 23 = 3
Yr = (3(0 - 3) - 1) mod 23 = 13
即3G为点(3, 13)
同理计算4G、5G...xG,分布如下图:


椭圆曲线加解密算法原理

建立基于椭圆曲线的加密机制,需要找到类似RSA质因子分解或其他求离散对数这样的难题。而椭圆曲线上的已知G和xG求x,是非常困难的,此即为椭圆曲线上的的离散对数问题。此处x即为私钥,xG即为公钥。
椭圆曲线加密算法原理如下:
设私钥、公钥分别为k、K,即K = kG,其中G为G点。
公钥加密:
选择随机数r,将消息M生成密文C,该密文是一个点对,即:
C = {rG, M+rK},其中K为公钥
私钥解密:
M + rK - k(rG) = M + r(kG) - k(rG) = M
其中k、K分别为私钥、公钥。

椭圆曲线签名算法原理

椭圆曲线签名算法,即ECDSA。
设私钥、公钥分别为k、K,即K = kG,其中G为G点。
私钥签名:
1、选择随机数r,计算点rG(x, y)。
2、根据随机数r、消息M的哈希h、私钥k,计算s = (h + kx)/r。
3、将消息M、和签名{rG, s}发给接收方。
公钥验证签名:
1、接收方收到消息M、以及签名{rG=(x,y), s}。
2、根据消息求哈希h。
3、使用发送方公钥K计算:hG/s + xK/s,并与rG比较,如相等即验签成功。
原理如下:
hG/s + xK/s = hG/s + x(kG)/s = (h+xk)G/s
= r(h+xk)G / (h+kx) = rG